通常,通过模态响应的迭加来确定动态荷载下的系统响应,CAESAR II 专门提供了频谱分析(Spectral Analysis)法供使用。模态分析法的优点之一是通常只需考虑有限数量的振型起作用并纳入分析中。模态分析法的缺点是虽然可以用很少的最低频率振型获得准确度较高的位移,但力、反作用力和应力结果可能需要求解更多的振型,甚至可能要至刚性范围,才能获得满意的准确度。丢失质量(Missing Mass)选项提供了一个表示在模态/动态响应中未明确求解的高阶振型拟静态分配的修正功能,从而提高准确性,缩短计算时间。
线性多自由度系统的动态响应方程如下:
Ma(t) + Cv(t) + Kx(t) = F(t)
式中:
M = n x n 系统的质量矩阵
C = n x n 系统的阻尼矩阵
K = n x n 系统的刚度矩阵
a(t) = n x 1,随时间变化的加速度矢量
v(t) = n x 1,随时间变化的速度矢量
x(t) = n x 1,随时间变化的位移矢量
F(t) = n x 1,随时间变化的作用力矢量
假设为简谐运动并忽略阻尼,则系统的自由振动特征值问题为
KF - MF w2 = 0
式中:
F = n x n 振型矩阵
w2 = n x n 矩阵,其中每个对角线元素是相应振型的角频率平方
模态矩阵 F 可以进行归一化,如 FT M F = I(其中,I 是 n x n 单位矩阵)及 FTK F = w2。
模态矩阵 F 可分成两个子矩阵:
F = [ FeFr ]
式中:
Fe = 为动态分析求解的振型(即,最低频率振型)
Fr = 剩余(未求解的)振型(即刚性响应或“丢失质量”分配)
求解的振型与剩余振型正交,或:
FeT x Fr = 0
位移分量可用振型的线性组合表示:
x = FY = Fe Ye + Fr Yr = xe + xr
式中:
x = 整个系统的位移
xe = 求解振型产生的系统位移
xr = 剩余振型产生的系统位移
Y = 广义模态坐标
Ye = 已求解振型对应的 Y 矩阵
Yr = 剩余振型对应的 Y 矩阵
动态荷载向量可用类似方式表示:
F = K F Y = K Fe Ye + K Fr Yr = Fe + Fr
式中:
F = 整个系统的荷载向量
Fe = 已求解振型产生的荷载向量
Fr = 剩余振型产生的荷载向量
Y = 广义模态坐标
Ye = 已求解振型对应的 Y 矩阵
Yr = 剩余振型对应的 Y 矩阵
通常,模态叠加分析完全忽略刚性响应及荷载 Fr 引起的位移 Xr 。这些未求解振型的响应可以通过静态载荷 Fr 产生的系统位移得到。根据上述关系描述,可用下式估算 Fr 的值:
F = K Fe Ye + K Fr Yr
在等式两边乘以 FeT,且考虑到 FeTFr = 0:
FeT F = FeT K Fe Ye + FeT K Fr Yr = FeT K Fe Ye
用 we2 代替 FeT K Fe,求解 Ye:
FeT F = we2 Ye
Ye = FeTwe-2 F
剩余力现在可表示为:
Fr = F - K Fe Ye = F - FeT K Few e-2 F
如前所述的
FTM Fw2 = I w2 = FT K F
用 FeT MFewe2 代替 FeT K Fe:
Fr = F - FeT M Fewe2 we-2 F = F - FeT M Fe F
因此,CAESAR II 按以下步骤计算剩余响应(并在分析中将其作为丢失质量分配考虑):
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用下式计算每一独立冲击荷载作用下的丢失质量荷载:
Fr = F - FeT M Fe F
荷载向量 F 表示:
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力谱加载条件下,力组向量和刚性 DLF 的乘积;
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非 ISM 地震荷载条件下,质量矩阵、ZPA 及方向向量的乘积;
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地震锚固运动荷载条件下,质量矩阵、ZPA 及位移矩阵(单位 ISM 支架位移条件)的乘积。
注意,丢失质量荷载随着用户求解的振型数量和选择的截止频率(更具体地说,DLF 或对应截止频率的加速度)的不同而发生变化。为了明确刚性 DLF 或 ZPA,用户可以利用参数设置把“刚性”指定为与最后一次求解振型有关的 DLF/加速度,或与输入频谱的最大输入频率相对应的真正的 DLF/ZPA。
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丢失质量荷载作为静态荷载施加于结构。静态结构响应之后将(根据用户定义的组合方法)与假设为模态响应的动态放大模态响应进行合成。静态响应是所有未求解振型响应的代数和 —— 代表同相响应,如同从刚性模态求解的结果。
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无论是否包含丢失质量,程序均给出了所有冲击工况的丢失质量数据(Missing Mass Data)报告。激活质量百分比的计算如下:
% 激活质量 = 1 - (å Fr[i] / å F [i])
i = 1 到 n 求和,式中,n 是计算的振型数
最大可能的激活质量百分比理论上应该是 100%;但数值不准确性有时可能使百分比值略微偏高。若包含了丢失质量修正系数,则包含修正的质量百分比也将在报告中显示。
由于 CAESAR II 程序假设丢失质量修正表示刚性模态的分配,且 ZPA 是基于最后一次求解振型频率对应的谱纵坐标值,因此建议用户求解的振型接近已确认的“刚性”频率,但不宜大幅超限。选择小于谱共振峰值的截止频率[下图点(1)]将因错过共振响应而产生非保守结果。使用高于峰值(点 2)但仍在共振范围内的截止频率时,将因 ZPA 刚性 DLF 过高估计而产生保守的结果。求解大量的刚性模态以计算动态响应可能比较保守(点 4),因为与更能真实表示刚性模态净响应的代数组合法相比,所有可得到的模态组合方法(SRSS、GROUP、ABS 等)计算的结果更保守。从下图所示的响应谱来看,模态求解的合适截止点大约是 33Hz(点 3)。